יחידה 7: הרכבת פונקציות ופונקציה הפוכה¶

הרכבת פונקציות¶

הגדרה¶

הגדרה: הרכבת פונקציות

תהיינה $f: A \to B$ ו-$g: B \to C$. ההרכבה $g \circ f$ היא פונקציה מ-$A$ ל-$C$ המוגדרת:

\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]

או בסימון למבדא:

\[g \circ f = \lambda x \in A. g(f(x))\]

סדר ההרכבה

ב-$g \circ f$:

קודם מפעילים את $f$
אחר כך מפעילים את $g$

זה הפוך מסדר הכתיבה!

דוגמה

$f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ על $\mathbb{R}$:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$

שימו לב: $g \circ f \neq f \circ g$

תכונות ההרכבה¶

משפט: תכונות הרכבת פונקציות

אסוציאטיביות: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$
פונקציית הזהות: $f \circ i_A = f = i_B \circ f$ עבור $f: A \to B$

כאשר $i_A = \lambda x \in A. x$ היא פונקציית הזהות.

אי-קומוטטיביות: בדרך כלל $f \circ g \neq g \circ f$

הגדרה: חזקות של פונקציה

עבור $f: A \to A$:

$f^0 = i_A$
$f^1 = f$
$f^{n+1} = f \circ f^n$

מתקיים: $f^m \circ f^n = f^{m+n}$

פונקציה הפוכה¶

הגדרה¶

הגדרה: פונקציה הפוכה

תהי $f: A \to B$ ביאקציה. הפונקציה ההפוכה $f^{-1}: B \to A$ מוגדרת:

\[f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y\]

או בסימון למבדא:

\[f^{-1} = \lambda y \in B. \iota x \in A. f(x) = y\]

קיום פונקציה הפוכה

פונקציה הפוכה $f^{-1}$ קיימת אם ורק אם $f$ היא ביאקציה.

אם $f$ לא חח"ע: יש $y$ עם כמה מקורות - מי יהיה $f^{-1}(y)$?
אם $f$ לא על: יש $y$ בלי מקור - מה יהיה $f^{-1}(y)$?

תכונות¶

משפט: תכונות הפונקציה ההפוכה

אם $f: A \to B$ ביאקציה, אז:

$f^{-1} \circ f = i_A$
$f \circ f^{-1} = i_B$
$(f^{-1})^{-1} = f$
$f^{-1}$ גם היא ביאקציה

משפט: אפיון הפונקציה ההפוכה

$f: A \to B$ היא ביאקציה אם ורק אם קיימת פונקציה $g: B \to A$ כך ש:

\[g \circ f = i_A \quad \text{וגם} \quad f \circ g = i_B\]

ואם $g$ כזו קיימת, היא יחידה ושווה ל-$f^{-1}$.

דוגמה

$f(x) = 2x + 3$ על $\mathbb{R}$:

$f$ ביאקציה
$f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2}$
בדיקה: $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(2x + 3) = \frac{(2x+3) - 3}{2} = x$ ✓

היפוך הרכבה¶

משפט: היפוך הרכבה

אם $f: A \to B$ ו-$g: B \to C$ ביאקציות, אז $g \circ f$ ביאקציה ו:

\[(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]

הוכחה: נבדוק: $$(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ i_B \circ f = f^{-1} \circ f = i_A$$

באופן דומה: $(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = i_C$. ∎

צמצום והרחבה של פונקציות¶

צמצום¶

הגדרה: צמצום פונקציה

תהי $f: A \to B$ ו-$X \subseteq A$. הצמצום של $f$ ל-$X$ הוא הפונקציה:

\[f|_X = \lambda x \in X. f(x)\]

זו אותה פונקציה, רק עם תחום מצומצם.

תכונות

$\text{Dom}(f|_X) = X$
$\text{Im}(f|_X) = f[X]$
$(f|_X)(x) = f(x)$ לכל $x \in X$

דוגמה

$f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}$:

$f|_{\mathbb{R}^+}$ היא $\lambda x \in \mathbb{R}^+. x^2$
$f$ לא חח"ע, אבל $f|_{\mathbb{R}^+}$ כן חח"ע!

הרחבה¶

הגדרה: הרחבה

$g: B \to C$ היא הרחבה של $f: A \to C$ אם $A \subseteq B$ ו-$g|_A = f$.

מקור ותמונה של קבוצות¶

תמונה של קבוצה¶

הגדרה: תמונה של קבוצה

תהי $f: A \to B$ ו-$X \subseteq A$. התמונה של $X$ תחת $f$ היא:

\[f[X] = \{f(x) \mid x \in X\}\]

מקור של קבוצה¶

הגדרה: מקור של קבוצה

תהי $f: A \to B$ ו-$Y \subseteq B$. המקור של $Y$ לפי $f$ הוא:

\[f^{-1}[Y] = \{x \in A \mid f(x) \in Y\}\]

הבחנה חשובה

$f^{-1}$ - הפונקציה ההפוכה (קיימת רק לביאקציות)
$f^{-1}[Y]$ - מקור הקבוצה $Y$ (קיים תמיד)

תכונות

$f[f^{-1}[Y]] \subseteq Y$
$X \subseteq f^{-1}[f[X]]$
$f[X_1 \cup X_2] = f[X_1] \cup f[X_2]$
$f^{-1}[Y_1 \cup Y_2] = f^{-1}[Y_1] \cup f^{-1}[Y_2]$
$f^{-1}[Y_1 \cap Y_2] = f^{-1}[Y_1] \cap f^{-1}[Y_2]$

פונקציות חשובות¶

פונקציית הזהות¶

הגדרה

\[i_A = \lambda x \in A. x\]

זו פונקציית שקילות מ-$A$ על $A$.

פונקציית ההטלה¶

הגדרה

עבור $A \times B$, פונקציות ההטלה הן:

\[\pi_1 = \lambda \langle x, y \rangle \in A \times B. x$$ $$\pi_2 = \lambda \langle x, y \rangle \in A \times B. y\]

הפונקציה האופיינית¶

הגדרה

תהי $E$ קבוצה ו-$A \subseteq E$. הפונקציה האופיינית של $A$:

\[\chi_A = \lambda x \in E. \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}\]

משפט: התאמה עם קבוצת החזקה

הפונקציה $H: \mathcal{P}(E) \to (E \to \{0, 1\})$ המוגדרת $H(A) = \chi_A$ היא ביאקציה.

טעויות נפוצות¶

טעות 1: סדר ההרכבה

ב-$g \circ f$ קודם מפעילים את $f$!

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ - קודם $f$, אחר כך $g$

טעות 2: פונקציה הפוכה לא תמיד קיימת

$f^{-1}$ קיימת רק אם $f$ ביאקציה.

טעות 3: בלבול בין $f^{-1}$ לבין $f^{-1}[Y]$

$f^{-1}$ - הפונקציה ההפוכה (קיימת רק לביאקציות)
$f^{-1}[Y]$ - מקור הקבוצה $Y$ (קיים תמיד)

תרגילים¶

תרגיל 1

נתונות $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 1$ ו-$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$. חשבו את $(g \circ f)^{-1}$ אם קיימת, או הסבירו למה לא.

תרגיל 2

הוכיחו: $f[X_1 \cap X_2] \subseteq f[X_1] \cap f[X_2]$. תנו דוגמה להכלה ממש.

תרגיל 3

תהי $f: A \to B$. הוכיחו: $f$ חח"ע אמ"מ $f[X_1 \cap X_2] = f[X_1] \cap f[X_2]$ לכל $X_1, X_2 \subseteq A$.

מקורות¶

מקורות היחידה

ספר הקורס (פרופ' אברון): פרק ב.4 - פונקציות
תרגול 7 - הרכבת פונקציות ופונקציה הפוכה