יחידה 5: פונקציות (מושגי יסוד)¶

מושגי יסוד¶

מהי פונקציה?¶

הגדרה: פונקציה

פונקציה $f$ מקבוצה $A$ לקבוצה $B$, מסומנת $f: A \to B$, היא יחס $f \subseteq A \times B$ המקיים:

מלאות: לכל $a \in A$ קיים $b \in B$ כך ש-$\langle a, b \rangle \in f$
חד-ערכיות: אם $\langle a, b_1 \rangle \in f$ וגם $\langle a, b_2 \rangle \in f$, אז $b_1 = b_2$

בקיצור: לכל איבר ב-$A$ מתאימה בדיוק תמונה אחת ב-$B$.

\[\forall a \in A. \exists! b \in B. \langle a, b \rangle \in f\]

סימונים

$f(a) = b$ או $f: a \mapsto b$ - הפונקציה $f$ מעתיקה את $a$ ל-$b$
$A \to B$ - קבוצת כל הפונקציות מ-$A$ ל-$B$

תחום, טווח ותמונה¶

הגדרות: תחום, טווח ותמונה

עבור פונקציה $f: A \to B$:

התחום (Domain): $\text{Dom}(f) = A$
הטווח (Codomain): $B$ - הקבוצה אליה הפונקציה מעתיקה
התמונה (Image/Range): $\text{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in A\} = \{y \in B \mid \exists x \in A. f(x) = y\}$

הבחנה חשובה

הטווח $B$ הוא הקבוצה אליה הפונקציה יכולה להעתיק
התמונה $\text{Im}(f)$ היא קבוצת הערכים שהפונקציה באמת מקבלת

תמיד מתקיים: $\text{Im}(f) \subseteq B$

דוגמה

עבור $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ המוגדרת $f(x) = x^2$:

$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$
הטווח הוא $\mathbb{R}$
$\text{Im}(f) = [0, \infty) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}$

שוויון פונקציות¶

עיקרון האקסטנציונליות לפונקציות

שתי פונקציות $f$ ו-$g$ שוות אם ורק אם:

\[f = g \iff \text{Dom}(f) = \text{Dom}(g) \land \forall x \in \text{Dom}(f). f(x) = g(x)\]

כלומר, יש להן אותו תחום, והן מחזירות אותם ערכים לכל קלט.

סימון למבדא¶

הגדרה¶

סימון למבדא

סימון למבדא (Lambda notation) מאפשר להגדיר פונקציה בצורה קומפקטית:

\[\lambda x \in A. t(x)\]

מתאר את הפונקציה מ-$A$ שמתאימה לכל $x$ את הערך $t(x)$.

דוגמאות

$\lambda x \in \mathbb{R}. x^2$ - הפונקציה שמעלה כל מספר ממשי בריבוע
$\lambda n \in \mathbb{N}. 2n + 1$ - הפונקציה שמתאימה לכל מספר טבעי את המספר האי-זוגי המתאים
$\lambda x \in \mathbb{R}. \lambda y \in \mathbb{R}. x + y$ - פונקציה של שני משתנים

כללי תחשיב למבדא¶

כלל $\alpha$ (החלפת משתנה)

ניתן להחליף את שם המשתנה הקשור:

\[\lambda x \in A. t = \lambda y \in A. t[y/x]\]

בתנאי ש-$y$ לא מופיע חופשי ב-$t$.

כלל $\beta$ (הצבה)

אם $s$ חופשי להצבה במקום $x$ ב-$t$:

\[(\lambda x \in A. t)(s) = t[s/x]\]

זהו כלל "החישוב" - הצבת ארגומנט בפונקציה.

כלל $\eta$ (אקסטנציונליות)

\[\lambda x \in \text{Dom}(f). f(x) = f\]

דוגמה לשימוש בכללים

\[(\lambda x \in \mathbb{R}. x^2)(3) = 3^2 = 9\]

\[(\lambda x \in \mathbb{R}. x + 1) \circ (\lambda x \in \mathbb{R}. x^2) = \lambda x \in \mathbb{R}. x^2 + 1\]

תמונה ומקור של קבוצות¶

תמונה של קבוצה¶

הגדרה: תמונה של קבוצה

תהי $f: A \to B$ ו-$X \subseteq A$. התמונה של $X$ תחת $f$ היא:

\[f[X] = \{f(x) \mid x \in X\} = \{y \in B \mid \exists x \in X. f(x) = y\}\]

הערה

$\text{Im}(f) = f[A] = f[\text{Dom}(f)]$

דוגמה

עבור $f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}$:

$f[(-\infty, 3)] = [0, 9]$
$f[\{-2, -1, 0, 1, 2\}] = \{0, 1, 4\}$

מקור של קבוצה¶

הגדרה: מקור של קבוצה

תהי $f: A \to B$ ו-$Y \subseteq B$. המקור של $Y$ לפי $f$ הוא:

\[f^{-1}[Y] = \{x \in A \mid f(x) \in Y\}\]

דוגמה

עבור $f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}$:

$f^{-1}[\{9\}] = \{-3, 3\}$
$f^{-1}[[0, 1]] = [-1, 1]$
$f^{-1}[\{-1\}] = \emptyset$ (אין מספר ממשי שריבועו שלילי)

תכונות

לכל $f: A \to B$ ו-$X \subseteq A$, $Y \subseteq B$:

$X \subseteq f^{-1}[f[X]]$
$f[f^{-1}[Y]] \subseteq Y$

הרכבת פונקציות¶

הגדרה¶

הגדרה: הרכבת פונקציות

תהיינה $f: A \to B$ ו-$g: B \to C$. ההרכבה $g \circ f$ היא פונקציה מ-$A$ ל-$C$ המוגדרת:

\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]

או בסימון למבדא:

\[g \circ f = \lambda x \in A. g(f(x))\]

סדר ההרכבה

ב-$g \circ f$:

קודם מפעילים את $f$
אחר כך מפעילים את $g$

זה הפוך מסדר הכתיבה!

דוגמה

$f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ על $\mathbb{R}$:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$

שימו לב: $g \circ f \neq f \circ g$

תכונות ההרכבה¶

משפט: תכונות הרכבת פונקציות

אסוציאטיביות: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$
פונקציית הזהות: $f \circ i_A = f = i_B \circ f$ עבור $f: A \to B$

כאשר $i_A = \lambda x \in A. x$ היא פונקציית הזהות.

אי-קומוטטיביות: בדרך כלל $f \circ g \neq g \circ f$

הגדרה: חזקות של פונקציה

עבור $f: A \to A$:

$f^0 = i_A$
$f^1 = f$
$f^{n+1} = f \circ f^n$

מתקיים: $f^m \circ f^n = f^{m+n}$

סוגי פונקציות מיוחדים¶

פונקציה חד-חד-ערכית (חח"ע)¶

הגדרה: פונקציה חח\"ע

פונקציה $f: A \to B$ נקראת חד-חד-ערכית (injective, one-to-one) אם:

\[\forall x_1, x_2 \in A. f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\]

או באופן שקול:

\[\forall x_1, x_2 \in A. x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\]

כלומר, לאיברים שונים יש תמונות שונות.

דוגמאות

$f(x) = 2x + 3$ על $\mathbb{R}$ - חח"ע (פונקציה לינארית)
$f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}$ - לא חח"ע (כי $f(2) = f(-2) = 4$)
$f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}^+$ (המספרים החיוביים) - חח"ע

פונקציה על (סורייקטיבית)¶

הגדרה: פונקציה על

פונקציה $f: A \to B$ נקראת על (surjective, onto) אם:

\[\forall y \in B. \exists x \in A. f(x) = y\]

או באופן שקול: $\text{Im}(f) = B$

כלומר, כל איבר בטווח מתקבל.

דוגמאות

$f(x) = 2x + 3$ מ-$\mathbb{R}$ ל-$\mathbb{R}$ - על
$f(x) = x^2$ מ-$\mathbb{R}$ ל-$\mathbb{R}$ - לא על (מספרים שליליים לא מתקבלים)
$f(x) = x^2$ מ-$\mathbb{R}$ ל-$[0, \infty)$ - על

פונקציית שקילות (ביאקציה)¶

הגדרה: פונקציית שקילות

פונקציה $f: A \to B$ נקראת פונקציית שקילות או ביאקציה (bijection) אם היא גם חח"ע וגם על.

במקרה זה, לכל $y \in B$ יש בדיוק מקור אחד ב-$A$.

דוגמאות

$f(x) = 2x + 3$ מ-$\mathbb{R}$ ל-$\mathbb{R}$ - ביאקציה
$f(x) = e^x$ מ-$\mathbb{R}$ ל-$(0, \infty)$ - ביאקציה
$i_A: A \to A$ - ביאקציה (פונקציית הזהות)

פונקציה הפוכה¶

הגדרה¶

הגדרה: פונקציה הפוכה

תהי $f: A \to B$ ביאקציה. הפונקציה ההפוכה $f^{-1}: B \to A$ מוגדרת:

\[f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y\]

או בסימון למבדא:

\[f^{-1} = \lambda y \in B. \iota x \in A. f(x) = y\]

שימו לב

פונקציה הפוכה $f^{-1}$ קיימת אם ורק אם $f$ היא ביאקציה.

אם $f$ לא חח"ע: יש $y$ עם כמה מקורות - מי יהיה $f^{-1}(y)$?
אם $f$ לא על: יש $y$ בלי מקור - מה יהיה $f^{-1}(y)$?

תכונות¶

משפט: תכונות הפונקציה ההפוכה

אם $f: A \to B$ ביאקציה, אז:

$f^{-1} \circ f = i_A$
$f \circ f^{-1} = i_B$
$(f^{-1})^{-1} = f$
$f^{-1}$ גם היא ביאקציה

משפט: אפיון הפונקציה ההפוכה

$f: A \to B$ היא ביאקציה אם ורק אם קיימת פונקציה $g: B \to A$ כך ש:

\[g \circ f = i_A \quad \text{וגם} \quad f \circ g = i_B\]

ואם $g$ כזו קיימת, היא יחידה ושווה ל-$f^{-1}$.

דוגמה

$f(x) = 2x + 3$ על $\mathbb{R}$:

$f$ ביאקציה
$f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2}$
בדיקה: $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(2x + 3) = \frac{(2x+3) - 3}{2} = x$ ✓

היפוך הרכבה¶

משפט

אם $f: A \to B$ ו-$g: B \to C$ ביאקציות, אז $g \circ f$ ביאקציה ו:

\[(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]

צמצום והרחבה של פונקציות¶

צמצום¶

הגדרה: צמצום פונקציה

תהי $f: A \to B$ ו-$X \subseteq A$. הצמצום של $f$ ל-$X$ הוא הפונקציה:

\[f|_X = \lambda x \in X. f(x)\]

זו אותה פונקציה, רק עם תחום מצומצם.

תכונות

$\text{Dom}(f|_X) = X$
$\text{Im}(f|_X) = f[X]$
$(f|_X)(x) = f(x)$ לכל $x \in X$

דוגמה

$f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}$:

$f|_{\mathbb{R}^+}$ היא $\lambda x \in \mathbb{R}^+. x^2$
$f$ לא חח"ע, אבל $f|_{\mathbb{R}^+}$ כן חח"ע!

פונקציות חשובות¶

פונקציית הזהות¶

הגדרה

\[i_A = \lambda x \in A. x\]

זו פונקציית שקילות מ-$A$ על $A$.

פונקציית ההטלה¶

הגדרה

עבור $A \times B$, פונקציות ההטלה הן:

\[\pi_1 = \lambda \langle x, y \rangle \in A \times B. x$$ $$\pi_2 = \lambda \langle x, y \rangle \in A \times B. y\]

הפונקציה האופיינית¶

הגדרה

תהי $E$ קבוצה ו-$A \subseteq E$. הפונקציה האופיינית של $A$ ביחס ל-$E$ היא:

\[\chi_A^{(E)} = \lambda x \in E. \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}\]

משפט

הפונקציה $H: P(E) \to (E \to \{0, 1\})$ המוגדרת $H(A) = \chi_A^{(E)}$ היא ביאקציה.

כלומר, יש התאמה חח"ע ועל בין תתי-קבוצות של $E$ לבין פונקציות מ-$E$ ל-$\{0, 1\}$.

טבלת סיכום¶

תכונה	הגדרה	דוגמה (כן)	דוגמה (לא)
חח"ע	$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$	$f(x) = 2x$	$f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}$
על	$\text{Im}(f) = B$	$f(x) = x^3$ על $\mathbb{R}$	$f(x) = e^x$ על $\mathbb{R}$
ביאקציה	חח"ע + על	$f(x) = 2x + 1$	$f(x) = x^2$ על $\mathbb{R}$

טעויות נפוצות¶

טעות 1: בלבול בין טווח לתמונה

הטווח $B$ נקבע בהגדרת הפונקציה
התמונה $\text{Im}(f)$ היא קבוצת הערכים שבאמת מתקבלים

דוגמה: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$

הטווח הוא $\mathbb{R}$
התמונה היא $[0, \infty)$ בלבד

טעות 2: סדר ההרכבה

ב-$g \circ f$ קודם מפעילים את $f$!

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ - קודם $f$, אחר כך $g$

טעות 3: פונקציה הפוכה לא תמיד קיימת

$f^{-1}$ קיימת רק אם $f$ ביאקציה.

לא כל פונקציה הפיכה!

טעות 4: בלבול בין $f^{-1}$ לבין $f^{-1}[Y]$

$f^{-1}$ - הפונקציה ההפוכה (קיימת רק לביאקציות)
$f^{-1}[Y]$ - מקור הקבוצה $Y$ (קיים תמיד)

מקורות¶

מקורות היחידה

ספר הקורס (פרופ' אברון): פרק ב.4 - פונקציות
תרגולים 5, 6, 7 - פונקציות, חח"ע ועל, הרכבה והופכית
דף נוסחאות מורחב

תכונה	הגדרה	דוגמה (כן)	דוגמה (לא)
חח"ע	\(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)	\(f(x) = 2x\)	\(f(x) = x^2\) על \(\mathbb{R}\)
על	\(\text{Im}(f) = B\)	\(f(x) = x^3\) על \(\mathbb{R}\)	\(f(x) = e^x\) על \(\mathbb{R}\)
ביאקציה	חח"ע + על	\(f(x) = 2x + 1\)	\(f(x) = x^2\) על \(\mathbb{R}\)