שאלות מבחן בנושא קבוצות¶

שאלה 1א - מבחן 2024 מועד א¶

השאלה¶

יהיו $A, B, C$ שלוש קבוצות שמקיימות $A \subseteq B \subseteq C$.

(I) הוכיחו: $(C \setminus B) \cup (B \setminus A) = (C \setminus A)$

(II) הוכיחו: $|C \setminus B| + |B \setminus A| = |C \setminus A|$

הפתרון¶

חלק (I) - הוכחה באמצעות הכלה דו-כיוונית:¶

כיוון $\subseteq$: יהי $x \in (C \setminus B) \cup (B \setminus A)$, אז $x \in B \setminus A$ או $x \in C \setminus B$, נפריד למקרים:

אם $x \in (B \setminus A)$ אז $x \in B$ ו-$x \notin A$, מההכלה $B \subseteq C$ נובע ש-$x \in C$ ולכן $x \in C \setminus A$
אם $x \in (C \setminus B)$ אז $x \in C$ ו-$x \notin B$, מההכלה $A \subseteq B$ נובע ש-$x \notin A$ ולכן $x \in C \setminus A$

כיוון $\supseteq$: יהי $x \in C \setminus A$, נפריד למקרים לפי האם $x \in B$:

אם $x \in B$ אז מההנחה $x \notin A$ ולכן $x \in B \setminus A$ ולכן באיחוד.
אם $x \notin B$ אז מההנחה $x \in C$ ולכן $x \in C \setminus B$ ולכן באיחוד.

חלק (II) - הוכחה:¶

נראה שהקבוצות $C \setminus B$, $B \setminus A$ הן זרות.

אכן, נניח בשלילה שקיים איבר $x \in (C \setminus B) \cap (B \setminus A)$. נובע ש-$x \in B \setminus A$ ולכן $x \in B$, מצד שני $x \in (C \setminus B)$ ולכן $x \notin B$, סתירה.

לכן: $$|C \setminus B| + |B \setminus A| = |(C \setminus B) \cup (B \setminus A)| = |C \setminus A|$$

כאשר המעבר הראשון מהגדרת חיבור עוצמות (לקבוצות זרות), והשני לפי סעיף א.

מושגים נבחנים¶

מושגי מפתח

פעולות על קבוצות: איחוד ($\cup$), הפרש ($\setminus$), הכלה ($\subseteq$)
הוכחת שוויון קבוצות: שיטת ההכלה הדו-כיוונית
קבוצות זרות: הוכחה בשלילה שחיתוך ריק
חיבור עוצמות: $|A| + |B| = |A \cup B|$ כאשר $A \cap B = \emptyset$
שימוש בהנחות: ניצול שרשרת ההכלות $A \subseteq B \subseteq C$

טעויות נפוצות¶

טעויות נפוצות

שימוש בגרירות שגויות: כמו השמטה ושינוי מיקום סוגריים כאשר יש איחודים וחיתוכים יחד
שימוש במעברי "אם ורק אם" שנכונים רק בכיוון אחד: למשל, $x \in C \setminus A \Leftrightarrow x \in B \setminus A$ (לא נכון!)
הנחה בלתי מפורשת של מה שצריך להוכיח: למשל, בכיוון שמניחים $x \in C \setminus A$, לחלק מיד למקרים $x \in C \setminus B$ או $x \in B \setminus A$
לגבי חלק (II):
שימוש בטענה שחיבור עוצמות שווה לעוצמת האיחוד ללא התייחסות לזרות
שימוש בחיסור עוצמות (לא תמיד מוגדר/נכון)
נימוק לא מספק לכך שהקבוצות זרות

שאלות נוספות בנושא קבוצות¶

מבחן 2025 מועד א - שאלה 1¶

יהי יחס $S_{A,B}$ מ-$A$ ל-$\mathcal{P}(B)$ המוגדר: $$S_{A,B} = \{\langle a, X \rangle \in A \times \mathcal{P}(B) \mid a \notin X\}$$

(א) הוכיחו או הפריכו: לכל שתי קבוצות $A, B$, היחס $S_{A,B}$ הוא יחס מלא.

(ב) הוכיחו או הפריכו: לכל שתי קבוצות $A, B$, אם $A \neq \emptyset$ וגם $S_{A,B}$ יחס חד-ערכי, אז $B = \emptyset$.

טיפים לפתרון שאלות קבוצות¶

טיפים

הוכחת שוויון קבוצות - השתמשו בהכלה דו-כיוונית
הוכחת זרות - הראו שהחיתוך ריק (בד"כ בשלילה)
שימוש בהכלות - נצלו את ההנחות $A \subseteq B$ לגרור $x \in A \Rightarrow x \in B$
חלוקה למקרים - כשיש איחוד, חלקו לפי מי מהקבוצות $x$ שייך